"1) При пересечении границы необходимо заполнять что-то типа грин карты, что в ней писать СПб – Таганрог или СПб – Горловка?" в иммиграционной карте пишете только населенный пункт в Украине, где будете пребывать, и реальную цель поездки (в данном случае цель - не транзит, писать нужное). Если есть адрес данного места - пишете его.
российские насел. пункты, указанные в билете, писать не нужно.
"2) На границе проверяют только паспорта или еще билеты?"
Проверяет ж.д. билеты только ж.д. службы (проводник, ревизор). А ж.д. билеты пассажиры после отправления сдают на хранение до конца поездки проводнику.
"3) На территории Украины я спокойно могу сойти с поезда?"
Да, если соответствующим образом заполнили иммиграц. карту.
что бы ни было указано в билете, этот билет не может ограничивать ваше право нужным вам образом заполнить иммиграц. карту и в соответствии с указанной вами же информацией в иммиграц. карте пребывать в Украине.
4) Не будет ли проблем на границе при выезде из Украины, если в карте будет написано СПб – Таганрог?
В иммиграц. карте не будет этого указано. будет указан насел. пункт в Украине, где вы намерены пребывать. проблем при выезде не будет.